Изучение поверхностей является классическим и одним из наиболее наглядных сюжетов геометрии и топологии. Теория многообразий, частными случаями которых являются поверхности, имеет богатейшую историю и проникает во множество областей математики, в физику, химию, биологию. Существенная часть исследований этой теории в XX в. была мотивирована, прямо или косвенно, стремлением решить классификационные проблемы, к которым относятся как описание компактных поверхностей, так и доказанные Перельманом гипотеза Пуанкаре и геометризационная гипотеза Тёрстона. Достигнутый за последние годы серьезный прогресс в данной проблематике тем не менее оставляет открытыми многие классические вопросы, сохраняющие свою актуальность.

§0 С высоты птичьего полёта

Здесь приведено сжатое описание всех основных сведений.

§0 С высоты птичьего полёта

Содержание:

1. Главная теорема
2. Какие теоремы в курсе не доказаны и что с этим делать
3. Что будет на контрольной

§1 Определение поверхности

Здесь изложены главные понятия, связанные с поверхностями. Поскольку поверхности — это в точности двумерные многообразия, а их краями являются одномерные многообразия, мы обсудим сразу общую концепцию многообразия.

§1 Определение поверхности

Содержание:

1. Определение многообразий без края
2. Определение многообразий с краем
3. Бонус: одномерные многообразия

§2 Карманные поверхности

Здесь описываются основные примеры поверхностей, которые можно положить в карман.

§2 Карманные поверхности

Содержание:

1. Основные примеры
2. Бутылка Клейна и проективная плоскость
3. Поверхность кренделя

§3 Генерация поверхностей и клеточные разбиения

Здесь вводится конструкция, позволяющая генерировать поверхности, и приводятся эквивалентные способы её понимания в виде клеточных разбиений, а также вложенных на поверхность графов.

§3 Генерация поверхностей и полигональные разбиения

Содержание:

1. Склеивание сторон многоугольников
2. Клеточные разбиения поверхностей и теорема Радо
3. Лизбез: конструкции топологических пространств.

§4 Операции над поверхностями

Здесь описаны три основополагающие операции над поверхностями, позволяющие сделать первых шаг на пути к визуальной топологической классификации поверхностей.

§4 Операции над поверхностями

Содержание:

1. Добавление дырки
2. Добавление плёнки
3. Добавление ручки
4. Тизер: сферы с ручками, плёнками и дырками

§5 Бонус: проективная плоскость и бутылка Клейна

Здесь подробно обсуждаются два представителя серии сфер с ручками, плёнками и дырками.

§5 Бонус: проективная плоскость и бутылка Клейна

Содержание:

1. Проективная плоскость
2. Бутылка Клейна

§6 Тизер: связная сумма и моноид поверхностей

Здесь вводится классическая бинарная операция на многообразиях — связная сумма, а также обсуждаются её свойства, благодаря которым множество поверхностей с данной операцией оказывается коммутативным моноидом.

§6 Тизер: связная сумма и моноид поверхностей

Содержание:

1. Определение связного суммирования
2. Моноид поверхностей

§7 Тождество Дика

Здесь обсуждается основное соотношение, выполненное в моноиде поверхностей.

§7 Тождество Дика

Содержание:

1. Геометрическое доказательство
2. Комбинаторное доказательство

§8 От клеточных разбиений к сферам с ручками, плёнками и дырками

Здесь приводится три доказательства основного результата о компактных поверхностях.

§8 От полигональных разбиений к сферам с ручками, плёнками и дырками

Содержание:

1. Доказательство Зимана
2. Доказательство Матвеева — Фоменко
3. ZIP доказательство Конвея

§9 Теорема Александера — Пахнера