Предыдущий раздел:

§5 Бонус: проективная плоскость и бутылка Клейна

Содержание раздела:

Как и было обещано, введём более общую операцию, частными случаями которой являются добавления дырок, ручек и плёнок.

Определение связного суммирования

Пусть $M_1$ и $M_2$ — две связные поверхности. Сконструируем из них поверхность $M_1\# M_2$ следующим образом:

1. Выберем **во внутренности на каждой из этих поверхностей по диску и удалим его внутренность. Появившиеся после этого дырки назовём $\alpha$ и $\beta$, а получившиеся поверхности без диска — $M_1^\ast$ и $M_2^\ast$.

1. Выберем некоторый гомеоморфизм $f\colon \alpha\rightarrow\beta$ и отождествим дырки $\alpha$ и $\beta.$

Определение. Фактор-пространство $M_1\# M_2:=(M_1^\ast\coprod M_2^\ast)/_\sim$ называется связной суммой поверхностей $M_1$ и $M_2,$ где $x\sim f(x)$ для $x \in \alpha.$

Связная сумма двух торов гомеоморфна поверхности кренделя

Видимо, данная конструкция задаёт бинарную операцию на множестве всех поверхностей.

<aside> ❓ Почему она корректно определена?

</aside>

Так, нам бы хотелось, чтобы была корректно определена функция

$$ \#\colon\textrm{Surf}\times \textrm{Surf}\rightarrow\textrm{Surf}, $$

где $\textrm{Surf}$ — множество классов эквивалентности всех связных поверхностей относительно отношения эквивалентности “быть гомеоморфными”.

• Ликбез: что такое корректная определённость (нажать на треугольник)

Теорема. Операция связной суммы $\#$ корректно определена.

Во-первых, необходимо проверить, что конструкция по любым двум поверхностям, поданным на вход, выдаёт как минимум поверхность **(может быть пока неоднозначно, но как минимум ничего другого). Действительно, связная сумма двумерных многообразий является двумерным многообразием: