Предыдущий раздел:
§3 Генерация поверхностей и полигональные разбиения
Содержание раздела:
Генерация поверхностей склейками многоугольников позволяет нам практически бесплатно создавать мириады всё новых и новых поверхностей, однако, такой подход, в силу своей исключительной комбинаторности, по большому счёту, ничего не говорит нам о том, что же это за пространства **в топологическом смысле. Мы не в силах увидеть их, твёрдо зная, однако, что это действительно поверхности.
<aside> ❓ Вопрос. Насколько сложными они могут оказаться? Может ли обладатель сотни обрывков карты восстановить в уме форму своей планеты?
</aside>
Чтобы ответить на эти вопросы, мы попробуем генерировать поверхности чуть более изощрённо, не “дискретными”, а “непрерывными” **методами. А именно, мы рассмотрим следующие три наглядные преобразования поверхностей.
Означает вырезание из поверхности открытого диска, лежащего подальше от края поверхности (т. е. такого, чьё замыкание не пересекает край).
<aside> 💡 Замечание. Данная операция увеличивает число компонент края на единицу.
</aside>
Пример. Добавление дырки к сфере $S^2$ даёт диск $D^2.$
Добавление дырки
Кроме того, добавление к сфере двух дырок даёт ленту.
С этого момента компоненты края поверхностей мы для краткости будем называть дырками:
Замечание. Фраза “у этой поверхности три дырки” означает “эта поверхность является многообразием с краем, и количество компонент края равно трём”.
Внимание: у тора нет дырок (потому что его край пуст).
Производится в два этапа:
Пример. Добавление плёнки к сфере $S^2$ даёт проективную плоскость $P^2.$
Добавление плёнки
Внимание: фиксация уже имеющейся дырки на поверхности и такой переход к фактор-пространству — это другая, неэквивалентная операция.
Прежде чем переходить к следующему преобразованию, ответим на вопрос:
<aside> ❓ Вопрос. Что получится, если приклеить к дырке ленту по одной из её граничных окружностей?
</aside>
Данное преобразование двуэтапно:
