Предыдущий раздел:
Содержание раздела:
Напомним основное определение.
Определение. Поверхность называется сферой с ручками, плёнками и дырками, если она может быть получена из сферы путем последовательного добавления некоторого конечного числа ручек, плёнок и дырок.
Значимость данного класса состоит в следующем.
<aside> 💾 Анонс. Любая компактная поверхность гомеоморфна сфере с конечным числом ручек, плёнок и дырок.
</aside>
Имея данный результат, следующим шагом естественно задаться вопросом, какие из поверхностей такого вида гомеоморфны. Окажется, что такие поверхности можно разбить на два отдельных типа, в рамках которых работа существенно упрощается:
Слева: сферы с ручками и дырками. Справа: сферы с плёнками и дырками
<aside> 💾 Анонс. Поверхности первого типа отличаются от второго типа ориентируемостью.
</aside>
Данные анонсы представляют собой центральные классические результаты двумерной топологии. А в месте с эйлеровой характеристикой (или каким-нибудь ещё инвариантом) они составляют классификацию компактных двумерных многообразий.
Внимательный слушатель заинтересуется:
<aside> ❓ Как лента Мёбиуса $M^2$ и бутылка Клейна $K^2$ вписываются в картину выше?
</aside>
<aside> ❓ Задача. Найдите такую простую замкнутую кривую на проективной плоскости, что разрезание по ней даёт диск и ленту Мёбиуса.
</aside>
<aside> ❓ Задача. Сфере с каким числом ручек, плёнок и дырок гомеоморфна лента Мёбиуса?
</aside>
На данном этапе уместно познакомиться с со следующими двумя геометрическими изображениями проективной плоскости.