Предыдущий раздел:

§1 Определение поверхности

Содержание раздела:

Мы начнём со следующего вопроса.

<aside> ❓ Вопрос. Как устроен край (компактной) поверхности?

</aside>

Край двумерного многообразия всегда является одномерным многообразием без края.

Напомним, что имеется простая классификация одномерных многообразий. Из неё следует, что каждая компонента края поверхности гомеоморфна окружности $S^1$ или прямой $\R^1.$

Случай окружности отличается от прямой тем, что окружность компактна, а прямая — нет.

Упражнение. Край компактного многообразия является компактным.

Таким образом, каждая компонента края компактной поверхности гомеоморфна окружности.

Основные примеры

Определим следующие стандартные, именные поверхности склеиванием сторон квадрата:

• Сфера $S^2$
• Тор $T^2$
• Бутылка Клейна $K^2$
• Проективная плоскость $P^2$ (также обозначается символом $\R P^2$)
• Диск $D^2$
• Лента/кольцо (не имеет стандартного обозначения)
• Лента Мёбиуса $M^2$