Предыдущий раздел:
Содержание раздела:
Вот мы и добрались до главного босса нашего квеста в двумерной топологии.
Теорема. Любая поверхность, имеющая конечное полигональное разбиение, гомеоморфна несвязному объединению конечного числа сфер с конечным числом ручек, плёнок и дырок.
С помощью теоремы Радо получается:
Следствие. Любая связная компактная поверхность гомеоморфна сфере с конечным числом ручек, плёнок и дырок.
Следствие. Моноид связных компактных поверхностей порождается тором, проективной плоскостью и диском.
В данном разделе приведено три доказательства вышеописанной теоремы.
Доказательство, приведённое на лекциях, называется доказательством Зейферта — Трельфалля. Оно сосредоточено вокруг определённой искусственно созданной кодировки для поверхностей. Оно наиболее конструктивно, поэтому рассказывается в университетских курсах по топологии, но с ним легко потерять суть.
Другое доказательство, описанное в заметке Путмана, называется доказательством Зимана. Оно основано на красивом комбинаторном рассуждении, осуществляющем переход к двойственному полигональному разбиению.
Ещё одно доказательство, описанное в книге Матвеева — Фоменко, основано на интерпретации полигонального разбиения в виде набора дисков, лент и заплат.
Третье доказательство называется ZIP-доказательством Конвея.
ZIP расшифровывается как Zero Irrelevancy Proof, т. е. “доказательство без неуместностей” (отсылка на доказательство Зейферта — Трельфалля). Слово “zip” переводится как “застёжка-молния”.
Источник: https://www3.nd.edu/~andyp/notes/ClassificationSurfaces.pdf и https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/zeeman.pdf. Также см. https://mathweb.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf