Содержание раздела:
Двумерная топология изучает поверхности и всё, что с ними связано. Поверхности, в свою очередь, — это топологические пространства, относящиеся к классу многообразий, а именно, это многообразия размерности два.
Все многообразия можно условно разделить на два типа: без края и с краем. И хотя второй тип многообразий включает первый (в этом случае край есть, просто он пустой), проще всего осознать определение многообразия без края.
Определение. Топологическое пространство $(M,\Omega)$ называется $n$-мерным топологическим многообразием без края, если у любой точки $p \in M$ найдется окрестность $U,$ гомеоморфная $n$-мерному евклидову пространству $\mathbb{R}^n,$ а само пространство $(M,\Omega)$ хаусдорфово и имеет счётную базу.
<aside> 💡 Грубо говоря, топологическое многообразие — это пространство, которое локально выглядит как обычное евклидово пространство. Человеку, попавшему в такое пространство, придется потрудиться, чтобы отличить его евклидова пространства.
</aside>
Евклидово пространство гомеоморфно открытому $n$-мерному шару: $\R^n \cong B^n.$ Поэтому в определении многообразия пространство $\R^n$ иногда заменяют на $B^n.$
Как думать о многообразии. В определении требуется, чтобы у каждой точки существовала некоторая окрестность. Однако у разных точек окрестности могут быть одинаковыми. Часто общее число окрестностей вообще можно выбрать конечным (например, в случае компактных многообразий).
Окружность — одномерное многообразие без края
Плоскость — двумерное многообразие без края
Сфера — двумерное многообразие без края
Тор — двумерное многообразие без края
А как же диск?
Перейдём к общей концепции топологического многообразия (с краем).
Ранее мы рассмотрели понятие многообразия без края. Оно не включало такие пространства, как, например, замкнутый диск $D^2.$ Причина состоит в том, что не у всех его точек есть окрестность, гомеоморфная евклидовой плоскости $\R^2$. Вместо этого у точек его граничной окружности $S^1$ есть окрестность, составляющая половинку евклидовой плоскости.
Диск — двумерное многообразие с краем
Тор с дырой — двумерное многообразие с краем
Определим $n-$мерное замкнутое евклидово полупространство: