Предыдущий раздел:
§6 Тизер: связная сумма и моноид поверхностей
Содержание раздела:
Напомним, что в прошлом разделе мы установили, что на множестве $\textrm{Surf}$ классов гомеоморфности всех связных поверхностей связная сумма как бинарная операция обладает свойствами ассоциативности, коммутативности и имеет нейтральным элементом класс эквивалентности $[S^2]$ сферы $S^2.$ Иначе говоря, пара $(\textrm{Surf},\#)$ является коммутативным моноидом.
В данном моноиде имеется подмоноид $[РПД]$ сфер с конечным числом ручек, плёнок и дырок, который порождается тремя элементами: $[РПД] = \langle [D^2],[{P}^2], [T^2]\rangle.$ Согласно анонсу, это в точности множество компактных связных поверхностей. Следует изучить его подробнее.
<aside> ❓ Вопрос. Подчиняются ли элементы $[D^2],[{P}^2], [T^2]$ какому-нибудь нетривиальному соотношению, кроме коммутативности?
</aside>
Иными словами, какие сферы с ручками, плёнками и дырками гомеоморфны? Насколько представление поверхности в виде сферы с ручками, плёнками и дырками неоднозначно?
Определение. Сфера с тремя плёнками $P^2\#P^2\#P^2$ называется поверхностью Дика.
Приступим к ответу на поставленный вопрос. Оказывается, между обозначенными элементами действительно есть соотношение, называющееся тождеством Дика. Его суть заключается в возможности представить поверхность Дика в виде связной суммы двумя разными способами.
Теорема. Имеется гомеоморфизм: $P^2\#T^2\cong P^2\#P^2\#P^2.$
Иными словами, сфера с ручкой и плёнкой гомеоморфна сфере с трёмя плёнками.
Данное тождество можно переписать в виде важного принципа:
<aside> 💡 В присутствии проективной плоскости ручку можно заменить на две плёнки.
</aside>
Следствие. Любая сфера с ручками, плёнками и дырками гомеоморфна либо сфере с ручками и дырками, либо сфере с плёнками и дырками.
Напомним, что $P^2\#P^2\cong K^2.$ Кроме того, связное суммирование с $T^2$ эквивалентно добавлению ручки, а связное суммирование с $K^2$ — добавлению поперечной ручки. Тем самым, тождество Дика допускает несколько переформулировок:
Мы приведём два доказательства тождества Дика: первое — геометрическое, с помощью анимации, а второе — методом разрезания и склеивания многоугольников.