Динамика (или теория динамических систем) является одним из интереснейших разделов математики. Грубо говоря, она изучает то, как объекты меняются со временем. Эти объекты могут быть представлены, например, числами, точками на плоскости или геометрическими фигурами, и мы исследуем, как они взаимодействуют и изменяются в зависимости от различных правил и условий. В современных исследованиях динамики широко используются и эффективно сочетаются методы из алгебры и геометрии, топологии, теории меры, а сама теория динамических систем затрагивает различные аспекты физики, биологии, экономики, компьютерных наук, искусственного интеллекта.
Динамические системы в одномерии интересны тем, что их структура достаточно богата и в то же время относительно проста. Здесь многие вопросы о поведении траекторий движения точек на прямой или окружности геометрическими соображениями сводятся к арифметике.
Динамика в двумерии более сложна, но всё ещё поддаётся разумному описанию. Здесь мы можем изучать, как точка движется по плоскости или как фигура изменяется на поверхности.
Специфика малых размерностей заключается в том, что мы можем находить полные ответы на многие фундаментальные вопросы и задачи, что помогает нам понять, какие закономерности и особенности могут возникать в общем случае. Это делает такие системы особенно интересными и полезными для изучения.
В рамках мини-курса мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории динамических систем. От слушателей приветствуется (но не является необходимым) знакомство с понятиями линейного отображения и дифференцирования функций одной переменной.
Задачи для самостоятельного решения
§1 Динамика на отрезке: порядок Шарковского
Задачи: шт
Загадки: шт
Проекты: шт
Задачи: шт
Загадки: шт
Проекты: шт
§3 Динамика хаоса: логистическое отображение
Задачи: шт
Загадки: шт
Проекты: шт
§4 Динамика на торе: окрошка из кошки
Задачи: шт
Загадки: шт
Проекты: шт