Бильярдным столом называется такая замкнутая ограниченная область на плоскости, что её граница — замкнутая кусочно-гладкая кривая без самопересечений.
Бильярдом называется бильярдный стол вместе с частицей, движущейся равномерно прямолинейно и отражаясь от границы по закону «угол падения равен углу отражения».
Траектория бильярда — бесконечная ломаная, получающаяся при движении частицы Траектория называется периодической, если в какой-то момент частица попадает в точку на границе, в которой уже была, и при этом под тем же углом.
Интересен вопрос существования периодических траекторий в выпуклых бильярдах.
Это далеко не праздные вопросы — например, они имеют прямое отношение к исследованию специальных систем квантовой механики. Однако объяснение этого выходит далеко за рамки наших возможностей в данном курсе.
Взамен рассмотрим элементарную задачу совсем из другой области, изящно решаемую с помощью бильярдов. Речь пойдет о переливаниях, которые, казалось бы, не имеют ничего общего с бильярдами. Начнем с классической головоломки.
Задачка. Имеются два сосуда вместимостью 7 и 11 литров и большая бочка, наполненная водой. Как с помощью этих двух сосудов отмерить ровно 2 литра воды?
Теорема Лазуткина (1973): В выпуклом бильярде на плоскости семейство каустик замощает множество положительной меры.
Конструкция Минасяна. Для выпуклой замкнутой гладкой кривой существует выпуклая область, для которой эта кривая является каустикой.
