Прежде чем начать исследовать конкретные динамические системы, в частности, системы на отрезке, неплохо было бы познакомиться с концептом динамической системы в целом — иначе говоря, разузнать, какого сорта объекты изучает эта теория.
Динамической системой называется такая пара $(M, f)$, где $M$ — некоторое множество (чаще всего с какой-то разумной окологеометрической структурой), а $f\colon M\to M$ некоторое отображение этого множества в себя (тоже нередко хорошее, но это как пойдет).
На первый взгляд может показаться, что тогда практически все что угодно в математике и есть динамическая система, потому что повсюду только и делают что встречаются множества и функции из этих множеств в себя. И в целом это верное соображение. Осталось только понять, что же всё-таки изучает теория динамических систем, какая математическая суть этих двух объектов $M$ и $f$ интересует специалиста в динсистемах?
Основная идея — нужно рассматривать итерации функции $f$. Так как область определения и область значений функции $f$ совпадают, то корректно определить функцию, которая будет получаться путем взятия композиции функции $f$ с самой собой — такая функция обозначается через $f\circ f$. Несложно догадаться, что можно продолжать итеративно композицировать функцию $f$ с собой, получая в итоге бесконечную последовательность функций:
$f$
$f\circ f$
$f\circ f\circ f$
$f\circ f\circ f\circ f$
$\dots$
Более компактно это можно записывать как $f, f^2, f^3, f^4 \dots$ — каждое из этих отображений — функция из множества $M$ в себя.
Думать об этом становится чуть проще, если относиться к происходящему с точки зрения путешествия конкретных точек множества $M$.
Представьте, что у вас есть некий большой заводской аппарат (функция $f$), на вход которому вы загружаете какой-то конкретный объект некоторого сорта (точку $x$ множества $M$, глиняный кубик). После загрузки этот аппарат что-то делает, и производит некоторый новый объект, но того же сорта (точку $f(x)$ множества $M$, глиняный кубик с немного сглаженными углами), и этот новый объект опять можно загрузить в этот же аппарат и повторять так до бесконечности.
Было бы интересно посмотреть, как засунутый в аппарат исходный кубик будет постепенно превращаться за сто шагов в шарик или в блинчик, а потом еще за двести шагов в микронную пыль, чтобы после ещё трехсот шагов, возможно, снова стать кубиком?
Изучением таких закономерностей и занимается теория динамических систем с дискретным временем.
Другой мотивирующий пример динамической системы как раз воспринимает каждую итерацию не только как “перезагрузку” объектов, но и как прохождение некоторого “дискретного” времени.
Представим, что у нас есть некоторый волшебный лес, в котором живут жуки. Причем живет их там довольно много, поэтому жуков мы измеряем не единицами, а сразу миллионами (сменили систему координат, увеличили шаги на координатной сетке).
Например, пусть в данный момент мы знаем, что жуков в лесу $x=1.242525$, что означает соответствующее количество миллионов жуков.
И пусть волшебство леса заключается в том, что мы можем предсказать, столько точно будет жуков ровно через год, причем более того, ответ зависит только от текущего числа жуков и ни от чего больше (все процессы в лесу всегда одинаковые и никаких других факторов, влияющих на популяцию жуков, кроме их исходного числа, вообще нет)
Иными словами мы можем прям указать некоторую функцию $f$, на вход которой подается число жуков (в миллионах), и которая снова выдает число жуков, тоже в миллионах, но через год.
Несложно заметить, что через $2$ года жуков станет $f\circ f(x)$, через $3$ — $f\circ f\circ f(x)$ и так далее.
Посмотрим, как меняется жизнь жуков при выборе в качестве $f$ разных функций. Только нужно всегда помнить, что все функции задаются не в обычной системе координат, а в такой, где миллион это единица. В связи с этим, чтобы узнать, как функции заданы не в миллионах, а в числе жуков, нужно разделить аргумент на миллион.