Содержание раздела:

Мы начнём с краткого содержания. Как говорится, TL;DR.

<aside> 💡 Двумерная топология изучает поверхности и всё, что с ними связано.

</aside>

Общий курс геометрии и топологии 2 семестра МКН ограничивается единственной главной теоремой — классификацией компактных поверхностей. Данный центральный базовый результат состоит в выписывании конкретного списка поверхностей без повторов.

Именные поверхности: лента/кольцо, штаны с дыркой, лист/лента Мёбиуса, тор, поверхность кренделя, проективная плоскость, бутылка Клейна

В качестве анонса дадим формулировку (используемые понятия определены ниже).

Теорема. Любая связная компактная поверхность гомеморфна либо сфере с конечным числом ручек и дырок, либо сфере с конечным числом плёнок и дырок, причем числа ручек, плёнок и дырок определены однозначно.

Первый класс (сферы с ручками и дырками) отличается от второго (сферы с ручками и плёнками) наличием свойства ориентируемости. Количество дырок (число компонент связности края) сохраняется при гомеоморфизмах по теореме об инвариантности края. Наконец, и дырявые сферы с разным числом ручек, и дырявые сферы с разным числом плёнок отличаются эйлеровой характеристикой (при условии совпадения количества дырок).

<aside> 💾 Главное: компактные поверхности делятся на ориентируемые и неориентируемые, а внутри данных классов они однозначно кодируются парой натуральных чисел.

</aside>

Откуда происходит данный классификационный результат? Дело в том, что по **теореме Радо** каждую поверхность можно получить отождествлением сторон некоторого (возможно, бесконечного) набора многоугольников. Конечность этого набора эквивалентна компактности поверхности. Далее, индукцией по числу пар отождествлённых сторон можно показать, что поверхность обязательно гомеоморфна сфере с конечным числом ручек, плёнок и дырок (аргумент Зимана). Наконец, при наличии хотя бы одной плёнки все ручки можно заменить на плёнки (тождество Дика).

На лекциях на МКН вместо аргумента Зимана рассказывают аргумент Зейферта — Трельфалля, который основан на определённой искусственно созданной кодировке для поверхностей и заключается в приведении разверток поверхностей к специальному модельному виду. Данное доказательство наиболее конструктивно, поэтому рассказывается в университете в первую очередь, но с ним легко потерять суть. Мы приводим ещё два доказательства: **аргумент Конвея** и аргумент Матвеева — Фоменко.

К небольшому сожалению, излагаемое в лекционном курсе доказательство теоремы о классификации компактных поверхностей не является полным. Так, без доказательства как минимум остаются вышеупомянутые теорема об инвариантности края и теорема Радо. Непрояснённым также остаётся вопрос о попарной негомеоморфности поверхностей. Имеется два подхода к нему, один из которых был анонсирован выше: доказать корректность определения эйлеровой характеристики (теорема Эйлера — Пуанкаре) и корректность определения ориентируемости (используется теорема Жордана — Шёнфлиса).

<aside> 📌 Все основные литературные источники, содержащие полные доказательства, представлены на этой странице.

</aside>

В отличие от теоремы Радо, данные корректности определений допускают дальнейшие пояснения. Так, их можно вывести из теоремы Александера — Пахнера, а идея доказательства этой теоремы очень проста и наглядна (при этом полное доказательство, разумеется, является непростым).

Второй подход к прояснению вопроса о попарной негомеоморфности сфер с ручками, плёнками и дырками лежит через концепцию фундаментальной группы (а именно, основан на **теореме Зейферта — ван Кампена** или теории накрытий). Соответствующие инструменты будут развиты во второй части курса геометрии и топологии 2 семестра МКН, поэтому в данном направлении проблему можно считать не такой критичной.

Доказательство теоремы об инвариантности края имеется по ссылке.