Содержание раздела:
Теоремы Жордана и Шёнфлиса являются ключевыми элементами понимания того, каким образом топологическая теория поверхностей сводится к комбинаторной.
Определение. Простой замкнутой кривой на плоскости называется образ инъективного непрерывного отображения вида $f\colon S^1\to \R^2.$
Теорема Жордана. Пусть $C$ — простая замкнутая кривая на плоскости.
- Её дополнение $\R^2 \setminus C$ имеет ровно две компоненты линейной связности.
- Граница каждой из этих компонент совпадает с кривой $C.$
Теорема Шёнфлиса. Замыкание ограниченной компоненты дополнения простой замкнутой кривой на плоскости гомеоморфно диску $D^2.$
Например, для стандартной (единичной) окружности данные утверждения очевидны.
Далее, сформулируем результат, эквивалентный двум вышеописанным теоремам.
Теорема Жордана — Шёнфлиса. Для любых двух простых замкнутых кривых $C_1,C_2 \subseteq \R^2$ существует такой гомеоморфизм $\varphi\colon \R^2 \to \R^2,$ что $\varphi(C_1) = C_2.$
Каждый стоп-кадр задаёт гомеоморфизм плоскости в себя
Легко видеть, что из теоремы Жордана — Шёнфлиса следуют теоремы Жордана и Шёнфлиса. Обратно, вывод теоремы Жордана — Шёнфлиса может быть совершен с помощью трюка Александера (точнее, его ещё более простой составляющей — радиального продолжения).
<aside> 💡 Вместе с одной из версий трюка Александера (любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм плоскости изотопен тождественному) теорема Жордана — Шёнфлиса позволяет непрерывно перетащить любую простую замкнутую кривую в окружность
</aside>
В этот раз мы докажем теорему Жордана полностью и теорему Шёнфлиса для ломаных.
Источник: https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/jordan/thomass.pdf.
Мы начнём с доказательства слабой формы теоремы Жордана.