Предыдущий раздел:

§8 От полигональных разбиений к сферам с ручками, плёнками и дырками

Содержание раздела:

Мы выясним, как связаны два любых полигональных разбиения одной и той же поверхности.

Определение. Следующие преобразования правильно вложенных графов называются движениями Пахнера.

1. Добавление новой вершины во внутренности ребра, а также обратная операция

1. Добавление непересекающихся хорд в некоторой грани, а также обратная операция

1. Добавление вершины во внутренность грани и проведение хотя бы одного ребра от неё, а также обратная операция

Движения Пахнера можно мыслить как преобразования полигональных разбиений поверхностей. Мы уже несколько раз пользовались такими преобразованиями, когда строили гомеоморфизмы методом разрезания и склеивания.

Теорема Александера — Пахнера. Любые два полигональных разбиения данной поверхности получаются друг из друга движениями Пахнера.

Иными словами, теорема Пахнера гласит, что любое правильное вложение конечного графа на поверхности можно получить из любого другого изотопией и движениями Пахнера.

Наряду с движениями Пахнера рассматривают схожие преобразования, такие как флипы, которые заключаются в замене одной диагонали четырёхугольника на другую. (Они являются композицией двух преобразований Пахнера.)

Александер доказал, что любые две триангуляции имеют общее подразбиение, а Пахнер получил обобщение этого результата на произвольную размерность.

Движения Пахнера и флипы

Доказательство теоремы Александера — Пахнера (набросок)

Докажем теорему в случае поверхностей без края. Общий случай доказывается аналогично.

Пусть даны графы $\Gamma_1 = V_1 \cup E_1$ и $\Gamma_2 = V_2 \cup E_2,$ правильно вложенные в одну и ту же поверхность.

1. Графы $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ могут пересекаться в бесконечном числе точек. Подвинем их так, чтобы пересечение было конечным, причем вне множества вершин (тонкое место).
2. Графы $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ могут не пересекаться. Подвинем их так, чтобы пересекались.