Некоторые именные поверхности: лента/кольцо/цилиндр и футболка; тор и поверхность кренделя; лента Мёбиуса, проективная плоскость и бутылка Клейна

Действующие лица

Сферы с ручками

Тор (сфера с 1 ручкой), поверхность кренделя (сфера с 2 ручками), сфера с 3 ручками

Общий паттерн

Сферы с дырками

Диск (сфера с 1 дыркой)

Кольцо/лента/цилиндр (сфера с 2 дырками)

Штаны (сфера с 3 дырками)

Футболка (сфера с 4 дырками)

Сферы с плёнками

Проективная плоскость (сфера с 1 плёнкой)

Общий паттерн

Теорема о классификации компактных поверхностей

Вот мы и добрались до главного босса нашего квеста в теории поверхностей.

Напомним: поверхность компактна, если она имеет конечное полигональное разбиение.

Теорема. Любая компактная связная поверхность гомеоморфна сфере с конечным числом ручек, плёнок и дырок.

Доказательство. Упражнение.

Из тождества Дика получается:

Следствие. Любая компактная связная поверхность гомеоморфна либо сфере с ручками и дырками, либо сфере с плёнками и дырками.

Первый класс (сферы с ручками и дырками) отличается от второго (сферы с ручками и плёнками) свойством ориентируемости: §9 Инварианты поверхностей

<aside> 👉

Анонс. Одна из характеризаций ориентируемости гласит, что поверхность неориентируема $\Longleftrightarrow$ она содержит ленту Мёбиуса.

</aside>