Мы напомним определение эйлеровой характеристики, докажем, что она является инвариантом поверхности (то есть сохраняется при гомеоморфизмах), и введём другой инвариант — понятие ориентируемости.
Содержание раздела:
Пусть далее $\Sigma$ — компактная поверхность. Напомним:
Определение. Граф на поверхности $\Sigma$ без края называется правильно вложенным, если при разрезании этой поверхности вдоль этого графа получается поверхность, гомеоморфная несвязному объединению конечного числа дисков.
В случае, если край $\partial \Sigma$ непуст, требуется, чтобы пересечение графа с каждой граничной компонентой представляло собой граф-цикл.
Теорема Эйлера—Пуанкаре. Для любых двух правильных вложений конечных графов в поверхность $\Sigma$ величина $V-E+F$ постоянна.
Доказательство. Движения Пахнера сохраняют значение данного выражения.
Определение. Полученная величина называется эйлеровой характеристикой поверхности $\Sigma$ и обозначается символом $\chi(\Sigma).$
Очень легко показать, что $\chi(\Sigma)$ сохраняется при гомеоморфизмах.
Утверждение. Эйлеровы характеристики гомеоморфных поверхностей совпадают.
Слева: $1-1+2=2.$ В центре: $1-1+1=1.$ Справа: $1-1+2=2.$
Следствие. Эйлерова характеристика — инвариант поверхности
Упражнение (неравенство Эйлера). Для любого вложения (не обязательно правильного) конечного графа в поверхность $\Sigma$ выполняется неравенство
$$ \chi(\Sigma) \leq V-E+F. $$
Упражнение. Пусть $\Sigma$ — сфера с $n$ ручками, $m$ плёнками и $k$ дырками. Тогда
$$ \chi(\Sigma) = 2-2n-m-k. $$
Пусть $\Sigma$ — поверхность. Если $\Sigma$ вложена в то или иное трёхмерное многообразие, то можно вычислить число её сторон. Но что делать, если $\Sigma$ никуда не вложена?
<aside>
Ориентируемость — аналог двусторонности для двумерных многообразий, не вложенных ни в какое трёхмерное многообразие.
</aside>