Напоминание теоремы Жордана

<aside> <img src="/icons/info-alternate_green.svg" alt="/icons/info-alternate_green.svg" width="40px" /> Определение*.

Простой кривой* $P$ называется образ инъективного непрерывного отображения $[0, 1] \to \mathbb{R}^2$.

Замкнутой простой кривой $C$ называется образ инъективного непрерывного отображения $S^1 \to \mathbb{R}^2$.

</aside>

• 1. Простая кривая — это компактное подмножество плоскости, гомеоморфное отрезку.

2. Замкнутая простая кривая — это компактное подмножество плоскости, гомеоморфное окружности.

3. По доказанному на предыдущей встрече дополнение $\mathbb{R}^2 \setminus P$ — это открытое связное подмножество плоскости.

4. По теореме Жордана дополнение $\mathbb{R}^2 \setminus C$ состоит из двух открытых на плоскости компонент связности $\mathrm{int}(C)$ и $\mathrm{ext}(C)$ (ограниченная и неограниченная компоненты соответственно). Сама кривая является общей границей этих компонент:

$$ \partial\,\mathrm{int}(C) = \partial\,\mathrm{ext}(C) = C. $$

<aside> <img src="/icons/info-alternate_green.svg" alt="/icons/info-alternate_green.svg" width="40px" /> Определение.

(Замкнутая) простая кривая называется ломаной, если она представима в виде конечного объединения прямых невырожденных сегментов $P_i = [x_i, y_i]$, таких что:

1. $P_i \cap P_{i+1} = \{y_i = x_{i+1}\}$ (в замкнутом случае порядок циклический);
2. $P_i \cap P_j = \varnothing$ в остальных случаях.

</aside>

Открытое подмножество плоскости связно тогда и только тогда, когда любые две его точки можно соединить простой ломаной.

Формулировка

Теорема Жордана-Шёнфлиса (JS-thm-v1). Любой гомеоморфизм $f \colon C \to C’$ между замкнутыми простыми кривыми можно продолжить до гомеоморфизма $F$ всей плоскости.

Мгновенные импликации

Так как $F(C) = f(C) = C’$, продолжение сужается до гомеоморфизма $\mathbb{R}^2 \setminus C \to \mathbb{R}^2 \setminus C’$.

• Любой гомеоморфизм сохраняет компоненты связности, и $F$ переводит ограниченную компоненту в ограниченную.

Поэтому $F$ сужается до гомеоморфизмов

$$ \mathrm{int}(C) \cong \mathrm{int}(C'), \\ \overline{\mathrm{int}(C)} \cong \overline{\mathrm{int}(C')}, \\ \mathrm{ext}(C) \cong \mathrm{ext}(C'), \\ \overline{\mathrm{ext}(C)} \cong \overline{\mathrm{ext}(C')}. $$

Специализация $C’ = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\}$ дает

$$ \mathrm{int}(C) \cong B^2, \\ \overline{\mathrm{int}(C)} \cong D^2, \\ \mathrm{ext}(C) \cong B^2 \setminus \{0\}, \\ \overline{\mathrm{ext}(C)} \cong D^2 \setminus \{0\}. $$