Содержание раздела:
Наша цель — познакомиться со следующим центральным результатом топологии.
Теорема Брауэра о неподвижной точке. Для любого непрерывного отображения$f\colon D^2 \to D^2$ из диска в себя существует такая точка $a \in D^2,$ что $f(a)=a.$
Дадим концептуальную переформулировку данного результата.
Определение. Неподвижной точкой (от англ. fixed point) отображения $f \colon X \to X$ называется элемент $x \in X$, для которого выполнено равенство $f(x) = x$.
Топологическое пространство $X$ обладает свойством неподвижной точки (от англ. fixed-point property), если любое непрерывное отображение $f\colon X \to X$ имеет неподвижную точку.
Теорема Брауэра гласит, что диск $D^2$ обладает свойством неподвижной точки. А следующие рисунки показывают, что кольцо $S^1\times [0,1]$ и полоса $\R\times [0,1]$ не обладают этим свойством.
Схема непрерывного отображения диска
Как показывает изображение справа, отрезок $[0,1]$ обладает свойством неподвижной точки.
Утверждение. Свойство неподвижной точки является топологическим инвариантом, то есть сохраняется при гомеоморфизмах.
Следствие. Диск не гомеоморфен кольцу.
<aside> 💾 Последний результат намекает на то, что теорема Брауэра может быть связана с теоремой об инвариантности края.
</aside>
Связь действительно есть. Так, из теоремы Брауэра можно вывести эту теорему.
Для первой иллюстрации заменим диск на гомеоморфный ему квадрат и расчертим на нём квадратную сетку $n\times n,$ где $n \in \N.$ Применим некоторое отображение $f.$ Теорема гарантирует, что имеется хотя бы один квадратик, пересекающий свой образ.
На самом деле, вышеописанное свойство, на первый взгляд более слабое, эквивалентно теореме Брауэра.
<aside> 💡 Данный факт позволяет вывести теорему Брауэра из чисто комбинаторных результатов, таких как лемма Шпернера.
</aside>
Также теорема Брауэра допускает интерпретацию с географической картой на столе.
