Простые задачи

1. Пусть на потолке на заузленном шнуре висит лампочка. Докажите, что такой шнур можно распутать, не двигая саму лампочку: (a) для узла трилистника; (b) для произвольного ручного узла.
2. Докажите, что коэффициент зацепления ${\rm lk}(L_1,L_2)$ равен нулю тогда и только тогда, когда компонента $L_1$ имеет поверхность Зейферта, не пересекающуюся с компонентой $L_2.$

Заузленная лампочка

1. Докажите, что алгебраический индекс пересечения ${\rm i}(\Sigma, L_2)$ равен коэффициенту зацепления ${\rm lk}(L_1,L_2),$ где $L=(L_1,L_2)$ — ориентированное двухкомпонентное зацепление, $\Sigma$ — поверхность Зейферта компоненты $L_1,$ построенная по алгоритму Зейферта из некоторой её диаграммы и пересекающая вторую компоненту $L_2$ трансверсально (т. е. перпендикулярно, без касаний) в конечном числе точек.
2. Вычислите полиномы Джонса левого и правого трилистников.

Задачи посложнее

1. Допустим, что в центре комнаты завис магический парящий гироскоп, который трёмя эластичными нитями крепко привязан к стенкам. Гироскоп прокрутился на 720 градусов вокруг объединения верхней и левой нижней нитей. Докажите, что нити можно распутать в исходное состояние, не двигая сам гироскоп.

Парящий гироскоп прокрутился

1. Докажите, что если зацепление обладает диаграммой, содеражащей фрагмент на рисунке, то оно нетривиально.

Фрагмент, который нельзя встретить на диаграмме никакого тривиального зацепления