Поговорим немного о трёхмерных многообразиях и том, как их можно было бы видеть (и класть в карман).
Картинки ниже иллюстрируют трехмерные многообразия, полученные из замкнутых (так называются многообразия без края) ориентируемых поверхностей, стандартно вложенных в трехмерное пространство, путем заполнения одной из двух частей, на которые они делят все пространство. Эти поверхности и станут краем создаваемых трехмерных многообразий.
Трехмерный шар. Край — сфера
Полноторий. Край — тор. Получается умножением диска на окружность $D^2\times S^1$
Шар с двумя ручками. Край — сфера с двумя ручками.
Шар с тремя ручками. Край — сфера с тремя ручками.Сфера с тремя ручками — нет точек края
Утолщенная сфера — сфера, умноженная на отрезок $S^2\times I$. Край — две сферы.
Трёхмерное пространство $\mathbb{R}^3$. В нем мы занимаемся теорией узлов.
Из двумерного пространства $\mathbb{R}^2$ можно сделать сферу $S^2$ путем добавления одной точки на бесконечности. Можно считать это определением.
Замечание. Стереографическая проекция задаёт гомеоморфизм
$$ \R^2 \cong S^2\setminus\{s_0\} $$
между евклидовым пространством $\R^2$ и дополнением до сферы $S^2$ любой её точки $s_0.$
Грубо говоря, сфера $S^2$ получается из $\R^2$ добавлением одной точки. В связи с этим $S^2$ называют одноточечной компактификацией $\R^2$.
Конечно, написанное выше справедливо для любой размерности $n$, а не только для двумерного случая.
В частности таким же образом можно получить одно примечательное трехмерное многообразие, которое не так быстро приходит на ум — добавить одну точку на бесконечности, но уже к трехмерному пространству $\mathbb{R}^3$. Полученное пространство называется трёхмерная сфера.
Вопрос: Но как выглядит трехмерная сфера $S^3$? Как реально её представить?
Попробуем представить себе некоторые шары $D^n$ и сферы $S^n.$ В зависимости от сложившихся обстоятельств бывает полезно взглянуть на них с разных сторон. Ниже описаны три способа увидеть сферу $S^n.$
Краем $n$-мерного шара (как $n$-многообразия) является $(n-1)$-мерная сфера: $\partial D^n = S^n.$
Шары и сферы малых размерностях.
Но трехмерная сфера — край четырехмерного шара, что для нас пока не слишком облегчает задачу визуализации.