Содержание раздела:
Хотим построить полиномиальный инвариант зацепления.
Пусть $L$ — диаграмма некоторого зацепления $\bar L$. Будем обозначать через $L_A$ и $L_B$ диаграммы, отличающиеся от $L$ в некотором перекрестке так, как показано на рисунке:
Построим скобочный полином $\langle L \rangle$ , который сопоставляет диаграмме $L$ полином от переменных $a, b, c$, и удовлетворяет условиям:
Так как хотим построить инвариант зацепления, то необходимо и достаточно, чтобы он был неизменным относительно движений Райдемастера.
Напоминание:
Первое движение Райдемастера
Второе движение Райдемастера.
Третье движение Райдемастера.
С учётом неизменности соотношений относительно движений Райдемастера, найдем соотношения между переменными. Начнем со второго движения:
Чтобы полином удовлетворял $\Omega_2$, как мы видим, нужно, чтобы $a^2+b^2+abc=0$ и $ab=1$. Отсюда имеем $b=a^{-1}$ и $c=-a^{2}-a^{-2}$.
Подставив в исходные условия на скобочный полином переменные $b$ и $c ,$ выраженные через $a$, проверим, будет ли полином с такими условиями не меняться при $\Omega_3$:
С учетом требования о неизменности относительно второго движения, имеем: