Содержание раздела:
Векторное поле на прямоугольнике без желтого диска
Концепция векторных полей является центральной для динамики, дифференциальной топологии и геометрии, математической физики. Она проникает в комплексный анализ, в теорию векторных расслоений и характеристических классов, в теорию когомологий (де Рама). Векторные поля окружают нас на каждом шагу.
Дождик течёт сверху вниз
Ветерок дует вокруг полюсов
“Параллельное” векторное поле на торе
“Меридиональное” векторное поле на торе
Мы посмотрим на примеры векторных полей, зададимся основными вопросами о них, а затем свяжем с каждым нулём векторного поля на сфере с ручками целое число, называющееся его индексом, и докажем теорему Эйлера — Пуанкаре — Хопфа (aka теорему об индексе) о том, что сумма индексов не зависит от самого векторного поля и равна эйлеровой характеристике.
<aside> 💡 Теорема связывает чисто аналическое понятие с чисто топологическим.
</aside>
Данный результат обобщает формулу Эйлера и предоставляет независимое доказательство корректности определения эйлеровой характеристики поверхностей и многообразий. Для поверхностей он был доказан Пуанкаре в 1885 году, а для многообразий произвольной размерности — Хопфом в 1926 году.
Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912) — французский механик, физик, астроном и философ, один из величайших математиков в истории.
Хайнц Хопф (1894-1971) — немецкий и швейцарский математик, известный работами в алгебраической и дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений.
Леонард Эйлер (1707-1783) — швейцарский, прусский и российский математик и механик. Наряду с Лагранжем — крупнейший математик XVIII века, один из величайших математиков в истории.
Теорема Эйлера — Пуанкаре — Хопфа имеет далеко идущие обобщения. К ним относятся, прежде всего, теорема Лефшеца — Хопфа (о структуре неподвижных точек непрерывных отображений топологических пространств), формула Гаусса — Бонне, а также ряд результатов на стыке геометрии, анализа и физики: теорема Атьи — Зингера об индексе и теорема Гротендика — Римана — Роха.
Базовые примеры векторных полей изображаются на плоскости. В связи с этим мы дадим следующее первоначальное определение векторного поля.
Определение. Векторным полем в евклидовом пространстве $\R^n$ называется непрерывное сопоставление $\mathcal{V}\colon \R^n \to \R^n$ каждой точке $a \in \R^n$ вектора $\mathcal{V}(a) \in \R^n.$
Точки, в которых векторное поле обращается в ноль, называются особыми (или нулями).
Кривые, идущие вдоль векторов векторного поля, называются его траекториями.
Определение. Траекторией векторного поля $\mathcal{V}$ на $\R^n$ называется любая такая непрерывно-дифференцируемая кривая $\gamma \colon J \to \R^n,$ где $J \subseteq \R$ — промежуток, что для каждого $t \in J$ верно равенство $\gamma^\prime(t) = \mathcal{V}(\gamma(t)).$
<aside> 💡 Анализируя траектории векторного поля, мы понимаем устройство самого поля.
</aside>