Содержание раздела:

Мы сведём “непрерывное” изучение кос к их “дискретному” изучению с помощью теоремы Артина, называющейся основной теоремой теории кос.

Первая часть этой теоремы позволяет кодировать косы конечными последовательностями символов, а вторая отвечает на вопрос о том, насколько такая кодировка неоднозначна.

Эмиль Артин (1898 — 1962)

Образующие Артина и артиновские слова

Определим косы $\sigma_i$ (соответственно, $\sigma_{i}^{-1}$) своими геометрическими представителями, у которых нити под номерами $i$ и $i+1$ единожды переплетаются в положительном (соответственно, в отрицательном) направлении, а остальные являются прямыми.

Определение. Косы $\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n-1}$ и $\sigma _{1}^{-1},\sigma _{2}^{-1},\ldots ,\sigma _{n-1}^{-1},$ представленные на левой части следующего рисунка, называются образующими А́ртина и обратными к ним.

Образующие Артина и обратные к ним (слева). Коса, заданная артиновским словом $\sigma_5^{-1}\sigma_2\sigma_3\sigma_3\sigma_1^{-1}\sigma_5$ (справа).

Определение. Конечные последовательности элементов из множества образующих Артина и их обратных называются артиновскими словами.

<aside> 💡 Артиновское слово — это слово в алфавите $\{\sigma_1^{\pm 1}, \ldots \sigma_{n-1}^{\pm 1}\}.$

</aside>

Конструкция. Сопоставим артиновскому слову геометрическую косу, полученную поочерёдным умножением геометрических кос, отвечающих буквам этого слова.

<aside> ❓ Любая ли геометрическая коса так получается из некоторого артиновского слова?

</aside>

Вообще говоря, ответ отрицательный.

1. Нити геометрической косы могут казаться нам пересекающимися сложным образом.

1. Нити могут уходить неограниченно далеко вверх и вниз.

Изотопия, подтягивающая нити к окологоризонтальному положению

1. Перекрёстки (скрещивания) нитей могут быть на одном и том же вертикальном уровне.

Необходимо раздвинуть перекрёстки

Данный анализ дает доказательство следующего результата.