Содержание раздела:

Наша цель — свести геометрическое изучение кос к их алгебраическому изучению с помощью теоремы Артина, которая заслуживает звание основной теоремы теории кос.

Первая часть теоремы Артина позволяет кодировать косы конечными последовательностями символов, а вторая отвечает на вопрос о том, насколько такая кодировка неоднозначна.

Эмиль Артин

Образующие Артина и артиновские слова

Определение. Косы $\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n-1}$ и $\sigma _{1}^{-1},\sigma _{2}^{-1},\ldots ,\sigma _{n-1}^{-1},$ представленные на левой части следующего рисунка, называются образующими А́ртина и обратными к ним.

Образующие Артина и обратные к ним (слева). Коса, заданная артиновским словом $\sigma_5^{-1}\sigma_2\sigma_3\sigma_3\sigma_1^{-1}\sigma_5$ (справа).

Коса $\sigma_i$ (соответственно, $\sigma_{i}^{-1}$) задаётся своим геометрическим представителем, у которого нити под номерами $i$ и $i+1$ единожды переплетаются в положительном (соответственно, в отрицательном) направлении, а остальные являются прямыми.

Определение. Конечные последовательности элементов из множества образующих Артина и их обратных называются артиновскими словами.

Иначе говоря, артиновское слово — это слово в алфавите $\{\sigma_1^{\pm 1}, \ldots \sigma_{n-1}^{\pm 1}\}.$

<aside> ☝ Каждому артиновскому слову соответствует геометрическая коса, полученная поочерёдным умножением геометрических кос, отвечающих буквам этого слова.

</aside>

Любая ли геометрическая коса так получается из некоторого артиновского слова? Вообще говоря, нет:

1. Нити геометрической косы могут уходить неограниченно далеко вверх и вниз.

Изотопия, подтягивающая нити к окологоризонтальному положению

1. Перекрёстки (скрещивания) нитей могут быть на одном и том же вертикальном уровне:

   

Изотопия, раздвигающаяся перекрёстки

Данные рассуждения являются основными шагами в доказательстве следующего результата.

Теорема. Любую геометрическую косу можно так подвергнуть изотопии, чтобы она могла быть получена описанным способом по некоторому артиновскому слову.

Следствие. Для любого $n \geq 2$ каждая коса $\beta \in B_n$ может быть представлена в виде произведения образующих Артина $\sigma_1^{\pm 1}, \ldots \sigma_{n-1}^{\pm 1}$ и обратных к ним.

По этой причине косы $\sigma_i$ и называются образующими (или порождающими).