Содержание раздела:

Чтобы привыкнуть к работе с косами, посмотрим на практике, что с ними можно делать.

1. Повороты и отражения кос

Некоторые геометрические преобразования пространства $\R^3$ задают функции на множестве кос. Одно из них — отражение в переходе $\beta \mapsto \beta^{-1}$ к обратной косе. А вот ещё несколько.

Поворот косы вокруг своей оси

Отражение косы относительно плоскости проекции

1. Поворот на угол $\pi$ вокруг оси $\{(n+1)/2\}\times \{0\}\times \mathbb {R},$ перпендикулярной основным плоскостям, задаёт корректно определённую функцию $\rho_n\colon B_n\to B_n.$
2. Отражение относительно плоскости проекции $\R\times \{0\}\times [0,1]$ задаёт функцию $\tau_n\colon B_n\to B_n,$ называющуюся отражением и автоморфизмом-отражением.

Исследовательский проект. Изучить структуру множества тех кос, которые переходят в себя под действием одного из вышеописанных преобразований.

2. Удаление нити

Косы можно упрощать, удаляя из них те или иные нити. Однако эта операция проста лишь на первый взгляд.

Строго говоря, при выдергивании нити из геометрической косы может не получиться геометрическая коса:

Концы расположены в неправильных координатах :/

Но если $\pi_\beta(n) = n$, то при удалении последней нити **получается геометричеcкая коса. В этом случае определена операция $d_n$ удаления нити под номером $n$.

<aside> ❓ Можно ли корректно определить операции удаления остальных нитей?

</aside>

В общем случае отображение

$$ d_k\colon B_n \to B_{n-1}. $$

удаления нити под номером $k$ можно определить с помощью следующей картинки:

Красная кривая символизирует нить, которую хочется удалить из исходной косы (центр)