Содержание раздела:

Косы

Геометрическая коса представляет собой объект следующего сорта:

Геометрическая коса из 6 нитей

Для данного числа $n \in \{1,2,3,\ldots\}$ пусть в трёхмерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^3$ на двух параллельных плоскостях $\mathbb{R}^2\times \{0\}$ и $\mathbb{R}^2\times\{1\}$ отмечены по $n$ точек

$$ \{(k,0,0) \in \R^3 \mid k \in\{1,2,\ldots,n\}\}\ \\ \{(k,0,1) \in \R^3 \mid k \in\{1,2,\ldots,n\}\}, $$

расположенных друг напротив друга на двух параллельных прямых $\mathbb{R}\times\{0\}\times\{0\}$ и $\mathbb{R}\times\{0\}\times\{1\}$. Для краткости множество $\mathbb{R}^2\times[0,1]$, ограниченное плоскостями $\mathbb{R}^2\times \{0\}$ и $\mathbb{R}^2\times\{1\}$, называется объемлющим пространством, а сами плоскости — основными.

Геометрическая коса из 6 нитей с изображенной системой координат

Определение. Геометрической косой из $n$ нитей называется подмножество объемлющего пространства $\mathbb{R}^2\times[0,1]$, которое состоит из $n$ непересекающихся кривых и удовлетворяет следующим требованиям:

1. концы этих кривых расположены в отмеченных точках;
2. каждая плоскость, параллельная основным и находящаяся между ними, пересекает геометрическую косу по ровно $n$ точкам.

Данные кривые называются нитями геометрической косы.

Примеры геометрических кос из $3$ нитей:

Интуиция. Второе условие выше означает то, что нити идут «монотонно», то есть в длину вдоль прямой, перпендикулярной основным плоскостям. Его можно проиллюстрировать следующим образом:

Условие монотонности (осторожно: художник расположил концы нитей на окружности, а не прямой; да ещё и рисует косы вертикально…)

Условие монотонности (осторожно: художник расположил концы нитей на окружности, а не прямой; да ещё и рисует косы вертикально…)

В определении косы используются объемлющие изотопии следующего специального вида.

Определение. Изотопией геометрических кос называется такая объемлющая изотопия пространства $\mathbb{R}^2\times[0,1]$, что:

1. его точки не выходят за пределы содержащих их плоскостей, параллельных основным;
2. точки на основных плоскостях неподвижны.

Первое условие гарантирует, что геометрические косы под действием такого шевеления сохранят свойство монотонности, а второе — что их концы останутся в отмеченных точках.

Определение. Геометрические косы называются изотопными, если одну можно перевести в другую некоторой изотопией геометрических кос.