Содержание раздела:

Узлы и зацепления, полученные из кос

Существует несколько стандартных способов превратить косу в узел или зацепление.

1. Замыкание Александера

   

Загадка. Как понять в терминах косы, сколько компонент у её замыкания?

1. Плетёное замыкание (от англ. plat closure)

1. Короткое замыкание или замыкание Стенфорда — Мостового (от англ. short-circuit)

Теорема Александера

Теорема Александера. Для любого полигонального зацепления существует конечная последовательность элементарных изотопий, переводящая её в полигональное зацепление, представленное в виде замкнутой по Александеру косы.

Доказательство. Для данного геометрического полигонального зацепления выберем какую-нибудь его диаграмму — если потребуется, применим какое-то число элементарных изотопий, чтобы исправить нерегулярности при проекции на плоскость. Дальше будем работать с диаграммой.

Ориентированное зацепление.

У нашего зацепления может быть несколько компонент. Введем ориентацию (направление обхода) на каждой компоненте. Она индуцирует ориентацию каждого ребра каждой компоненты.

В соответствии с этими двумя вариантами раскрасим все ребра зацепления в красный и синий цвета.

Зафиксируем произвольную точку $O$ на плоскости таким образом, чтобы она не попадала на диаграмму зацепления. На каждое ребро зацепления можно посмотреть из этой точки и проследить, в какую сторону оно направлено относительно этой точки — слева направо или справа налево.

Ориентированное однокомпонентное зацепление раскрашено в красный и синий цвета в соответствии с тем, как они видятся из бирюзовой точки $O$.

Мы будем говорить, что зацепление обвивается вокруг точки $O$, если после соответствующей раскраски все его ребра оказались одного цвета (то есть все ребра ориентированы в одном направлении обхода относительно данной точки).

Несложно заметить, что если зацепление действительно обвивается вокруг данной точки, то из него легко получить косу, замыканием которой оно окажется. Достаточно просто провести из данной точки такой луч, чтобы он не проходил через перекрёстки диаграммы, после чего сделать разрез зацепления по этому лучу.

Получится монотонно идущий в одном направлении набор отрезков, при изотопирующем расправлении образующий диаграмму некоторой косы.