Цель. Определить, ориентируема ли поверхность, и в зависимости от этого установить, сфере с каким числом ручек и дырок (если ориентируема) или сфере с каким числом плёнок и дырок (если неориентируема) она гомеоморфна.

Дано. Некоторым образом заданная поверхность.

• В простейшем случае дана развёртка, то есть многоугольник (или дизъюнктный набор многоугольников), на некоторых сторонах которого(ых) отмечены направления (стрелки) и указаны буквы или цвет. Буквы/цвет означают спаривание: если две стороны подписаны одной и той же буквой/одного цвета, они отождествляются (таким из двух способов, чтобы направления стрелок на них совпали). Поверхность получается как факторпространство данного дизъюнктного объединения по такому отождествлению.

  

  Три развёртки трёх поверхностей

<aside> 💡

Каждое такое факторпространство действительно является двумерным многообразием. Рекомендуем ознакомиться с доказательством данного факта, оно весьма поучительно: Доказательство теоремы

</aside>

• Также поверхность может быть задана менее явно, например, как факторпространство некоторой более сложной поверхности с непустым краем по отношению, определённым образом склеивающему её граничные компоненты.

Алгоритм

Шаг 1. Вычислить эйлерову характеристику.

Эйлерова характеристика поверхности может быть вычислена по её произвольному полигональному разбиению (разбиению на многоугольники). Она равна числу "количество вершин разбиения минус количество рёбер разбиения плюс количество граней разбиения":

Предчувствие эйлеровой характеристики

Имеем $V = 4\cdot 4=16$ и $E=8\cdot4=32$, а также $F=4\cdot 4=16$, откуда $V-E+F=0$.

Имеем $V = 6\cdot 4=24$ и $E=6\cdot8=48$, а также $F=6\cdot 4=24$, откуда $V-E+F=0$.

Если поверхность задана как факторпространство дизъюнктного набора многоугольников, разбиение можно получить из них: объявим вершинами образы (относительно канонической проекции из дизъюнктного объединения на факторпространство) вершин таких многоугольников, объявим рёбрами образы сторон таких многоугольников и объявим гранями образы самих многоугольников.

• Грани. Количество граней разбиения равно количеству многоугольников.
• Рёбра. Каждая пара отождествлённых сторон многоугольника (т. е. та, где подписаны буквы) даёт одно ребро, лежащее внутри поверхности, а каждая неспаренная сторона даёт одно ребро, лежащее на крае поверхности, — так можно подсчитать общее количество рёбер разбиения.
• Вершины. Для вычисления количества вершин разбиения нужно явно указать классы эквивалентности, на которые разбилось множество вершин многоугольников. Для этого для каждой пары отождествляемых сторон $(x,y)\sim(a,b)$ обозначаем эквивалентными вершины $x\sim a,$ а также вершины $y\sim b.$ Чтобы не сбиться, можно делать в такой последовательности: выбрать вершину $"x",$ проделать данную процедуру для смежного к ней ребра $(x,y),$ затем проделать процедуру для второго ребра, смежного к вершине $"b",$ и так далее, пока не зациклимся или пока не наткнёмся на неспаренное (неотождествлённое) ни с кем ребро — и так для всех вершин.

Если же поверхность задана менее явно, то можно сначала изобразить какое-нибудь её разбиение, а затем вычислять по нему эйлерову характеристику. Иными словами, необходимо изобразить на этой поверхности такой граф, что результат разрезания этой поверхности гомеоморфен несвязному объединению дисков. Помните, что иные, неправильные вложения, могут привести к неверным ответам:

Слева: $1-1+2=2.$ В центре: $1-1+1=1.$ Справа: $1-1+2=2.$

Шаг 2. Вычислить количество компонент края поверхности.

Если поверхность задана набором многоугольников, можно, как выше, рассмотреть множество рёбер, лежащих на крае, и понять, смотря на инцидентные этим ребрам вершины, на сколько компонент связности (на поверхности) они бьются. Точнее, начать с вершины на граничной компоненте (т.е. вершине мноугольника, смежной к неспаренной стороне) и аналогично идти вдоль смежных ребёр, пока не зациклимся, и так сделать для всех граничных компонент.