Доклад 26 октября 2024: ссылка

Разложения открытой книги

Расслоения над окружностью

Анонсируем понятие, центральное для сегодняшнего рассказа.

Определение. Многообразие $M$ называется расслаивающимся над окружностью, если существует локально тривиальное расслоение $M \to S^1.$

Модельным примером расслоения является тривиальное расслоение $N\times S^1 \to S^1$ произведения $N\times S^1,$ действующее как проекция на вторую координату.

При $N=S^1$ такое тривиальное расслоение можно соорудить даже двумя способами.

Слоем расслоения является меридиан

Слоем расслоения является параллель

А вот ещё одно расслоение тора $S^1\times S^1$ над окружностью со слоем окружность:

Слоем расслоения является кривая $(1,1)$

А при $N = D^2$ получается расслоение полнотория:

Полноторий расслаивается над окружностью

Схематическое изображение расслоения над окружностью со слоем диск $D^2$

Многообразие с фиксированным расслоением называется расслоённым.

Над каждой точкой окружности висит слой

<aside> ❓

Какие поверхности расслаиваются над окружностью?

</aside>

Среди сфер с ручками расслаивающимся над окружностью является лишь тор.

<aside> ➡️

Если ориентируемое трёхмерное многообразие $M^3$ расслаивается над окружностью, то его край $\partial M^3$ состоит из набора торов.

</aside>

Конструкция тора отображения

Научимся генерировать примеры расслоений над окружностью.