Содержание раздела:
Узел — это частный случай понятия зацепление. Поэтому далее речь пойдёт о зацеплениях.
Классический подход к математическому определению зацепления состоит из двух шагов. Сначала вводятся определённые наборы замкнутых кривых в трёхмерном пространстве, которые называются геометрическими зацеплениями. Затем на множестве всех геометрических зацеплений вводится отношение эквивалентности, которое называется изотопностью и отвечает возможности преобразования одного геометрического зацепления в другое определёнными физическими манипуляциями кривых. По определению принимается, что эквивалентные геометрические зацепления представляют один и тот же математический объект — зацепление.
Определение. Геометрическим зацеплением из $n$ компонент называется подмножество пространства $\mathbb{R}^3$, которое состоит из $n$ непересекающихся простых замкнутых кривых.
Данные кривые называются компонентами геометрического зацепления.
Геометрические зацепления из одной компоненты называются геометрическими узлами.
Примеры геометрических узлов и зацеплений:
Напомним определение объемлющей изотопии.
Определение. Объемлющей изотопией пространства $X$ называется такое семейство $\{f_t\}_{t\in [0,1]}$ гомеоморфизмов
$$ f_t\colon X \to X, $$
параметризованное числом $t \in [0,1],$ что:
- $f_0$ — тождественный гомеоморфизм, т. е. $f_0(x) = x$ для всех $x \in X;$
- отображение $(x,t) \mapsto f_t(x),$ имеющее вид $X\times[0,1] \to X,$ непрерывно.
Определение. Два геометрических зацепления изотопны, если существует объемлющая изотопия пространства $\R^3$, переводящая первое во второе.
Изотопность — это отношение эквивалентности на множестве геометрических зацеплений. Класс эквивалентности относительно такого отношения называется зацеплением.
Определение. Зацеплением называется класс эквивалентности геометрических зацеплений по отношению изотопности.