Содержание раздела:
Узел — это частный случай понятия зацепление. Поэтому далее речь пойдёт о зацеплениях.
Классический подход к математическому определению зацепления состоит из двух шагов. Сначала вводятся определённые наборы замкнутых кривых в трёхмерном пространстве, которые называются геометрическими зацеплениями. Затем на множестве всех геометрических зацеплений вводится отношение эквивалентности, которое называется изотопностью и отвечает возможности преобразования одного геометрического зацепления в другое определёнными физическими манипуляциями кривых. По определению принимается, что эквивалентные геометрические зацепления представляют один и тот же математический объект — зацепление.
Определение. Геометрическим зацеплением из $n$ компонент называется подмножество пространства $\mathbb{R}^3$, которое состоит из $n$ непересекающихся простых замкнутых кривых.
Данные кривые называются компонентами геометрического зацепления.
Геометрические зацепления из одной компоненты называются геометрическими узлами.
Примеры геометрических узлов и зацеплений:
Напомним определение объемлющей изотопии.
Определение. Объемлющей изотопией пространства $X$ называется такое семейство $\{f_t\}_{t\in [0,1]}$ гомеоморфизмов
$$ f_t\colon X \to X, $$
параметризованное числом $t \in [0,1],$ что:
- $f_0$ — тождественный гомеоморфизм, т. е. $f_0(x) = x$ для всех $x \in X;$
- отображение $(x,t) \mapsto f_t(x),$ имеющее вид $X\times[0,1] \to X,$ непрерывно.
Определение. Два геометрических зацепления изотопны, если существует объемлющая изотопия пространства $\R^3$, переводящая первое во второе.
Изотопность — это отношение эквивалентности на множестве геометрических зацеплений. Класс эквивалентности относительно такого отношения называется зацеплением.
Определение. Зацеплением называется класс эквивалентности геометрических зацеплений по отношению изотопности.
Количество компонент геометрического зацепления сохраняется при объемлющих изотопиях. Оно называется количеством компонент зацепления.