Содержание раздела:
«Analysis situs» (с лат. — «анализ положений») — цикл статей Анри Пуанкаре, положивший начало систематическому изучению топологии и опубликованный в 1895-1904 годах.
Трёхмерные многогранники
Теорема (формула Эйлера для выпуклых многогранников). Для любого выпуклого многогранника из $V$ вершин, $E$ рёбер и $F$ граней выполняется равенство
$$ V-E+F=2. $$
Набросок доказательства. Расположим выпуклый многогранник в пространстве так, что никакое его ребро не является горизонтальным. В этом случае он имеет самую высокую вершину $В$ и самую низкую вершину $Н.$ Разместим положительно заряженную частицу в каждую вершину многогранника, отрицательно заряженную частицу в центр каждого ребра и положительно заряженную частицу в центр каждой грани. Покажем, что все заряды сокращаются, кроме $В$ и $Н.$
Сдвинем на грани все заряды, расположенные в вершинах и на рёбрах, в направлении против часовой стрелки, если смотреть сверху на многогранник. (При движении заряды не должны изменять свою высоту.)
Заряженные частицы на поверхности куба
Таким образом каждая грань получает суммарный заряд из интервала на её границе. Этот интервал состоит из последовательности чередующихся вершин и рёбер, причем начало и конец этой последовательности — рёбра. Таким образом, на таком интервале имеется избыток в одну отрицательно заряженную частицу. Она сокращается с положительно заряженной частицей на грани. Теорема доказана.
Вероятно, более распространённой является следующая версия формулы Эйлера.
Теорема (формула Эйлера для планарных графов). Для любого связного плоского графа с $V$ вершинами и $E$ рёбрами, делящего плоскость на $F$ областей, выполняется
$$ V − E + F = 2 $$
Для доказательства также можно воспользоваться аналогичным прямым аргументом:
Додумайте доказательство по этой картинке
На географических картах рельеф местности обычно показывают с помощью линий уровня, соединяющих точки земной поверхности, находящиеся на данной высоте над уровнем моря.
Источник: http://kvant.mccme.ru/1982/08/topologiya_i_relef_mestnosti.htm
Такой рельфев имеет три характерных типа точек: вершины, котоловины и перевалы.
Все вершины, котловины и перевалы окружены точками наклона. Последних, конечно, большинство. Но, разумеется, помимо таких точек существуют и другие типы. Например, плато — целые области, высота точек которых постоянна. Постоянная максимальная высота может быть и на целой линии, как на рисунке 2в) выше. Бывают и более хитрые точки, например, “обезъяньи сёдла”, как на рисунке 2г) выше. Однако все точки, не являющиеся точками наклона, кроме вершин, котловин и перевалов можно устранить, чуть-чуть подправив рельеф местности. (Этот факт, в более строгой формулировке, является одной из теорем теории Морса.)